METODE BISEKSI

METODE BISEKSI

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Metode biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk mentukan solusi akar dari persamaan non linear atau disebut juga metode pembagian Interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi, dengan prinsip utama sebagai berikut:

•  Menggunakan dua buah nilai awal untuk mengurung salah satu atau lebih akar persamaan non linear.

•  Nilai akarnya diduga melalui nilai tengah antara dua nilai awal yang ada.

Metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang - ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Untuk menggunakan metode biseksi, tentukan batas bawah(a) dan batas atas(b). Kemudian dihitung nilai tengah: c = (a+b)/2

Dari nilai c ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar :

f(a) . f(b) < 0, maka b=c, f(b)=f(c), a tetap

f(a) . f(b) > 0, maka a=c, f(a)=f(c), b tetap

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah & batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yg mempunyai akar.

Interval baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran interval yang baru sudah sangat kecil dan hal ini tentu saja sesuai dengan toleransi kesalahan yang diberikan.

AlgoritmaMetodeBiseksi:

1. Definisikan fungsi f(x)yang akan dicari akarnya

2. Tentukan nilai a dan b

3. Tentukantorelansie daniterasimaksimumN

4. Hitung f(a) dan f(b)

5. Jika f(a).f(b)> maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan

6. Hitung c= Hitung f(c)

7. Bila f(c).f(a)<0maka b=c dan f(b)=f(c), bila tidak a=x dan f(a)=f(c)

8.  Jika b-a<e atau iterasi>iterasimaksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar= c, dan bila tidak, ulangi langkah6.

Metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasinya.

CONTOH SOAL :

Carilah penyelesaian dari persamaan non linear berikut ini dengan metode biseksi :

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

x1 = 1

x2 = 2 

Penyelesaian:

Langkah 1:

Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4
f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

Langkah 2:

Mencari nilai x3.

x3=(x1+x2)/2=(1+2)/2=1.5
Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875

Langkah 3:

Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk menentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai f(x1)*f(x3)<0 maka : x4=(x1+x3)/2=1+1.5=7

Dan f(x4)= 1.753 + 1.752 - 3(1.75) – 3 = 1.71875

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5). Begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7.

Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.73205080 dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08.